Методи розв’язання систем лінійних рівнянь – це спеціальні алгоритми, прийоми, з допомогою яких вдається знайти значення змінних, у яких всі рівняння системи виконуються одночасно. Основна мета такого вирішення: знайти всі значення змінних, які задовольняють усім рівнянням одночасно або з’ясувати, що рішень немає/рішень нескінченна кількість.
Всі методи умовно можна розділити на дві великі категорії – точні та наближені, кожен з яких має певний список особливостей, обмежень щодо майбутнього застосування.
Точні методи розв’язання СЛАР
Під точними розглядають такі методи, які при ідеальних обчисленнях (без помилок, заокруглень) дають суворе та точне вирішення системи. На сайті https://www.mathros.net.ua/ запропоновано калькулятор, який дозволяє виконати швидкі розрахунки, скориставшись перевагами точних методів СЛАР.
Такі методи застосовують у системах, де є невелика кількість рівнянь, коли на першому місці знаходиться абсолютна точність. Серед найпоширеніших точних методів виділяють:
- Метод Гауса – універсальний спосіб, який дозволяє вирішити будь-яку СЛАР, його активно застосовують навіть у алгоритмах усередині інших відомих методів.
- Метод підстановки – ідеальний варіант для роботи з маленькими системами, розрахованими на 2-3 рівняння.
- Метод Крамера – використовується виключно для квадратних та невироджених систем.
- Матричний метод – теоретично точний метод, який рідко використовується безпосередньо через обчислювальну дорожнечу.
Всі перераховані вище методи працюють з кінцевим числом кроків, активно використовуються в різних алгебраїчних рішеннях, для малих систем. Однак вони чутливі до будь-яких похибок округлення, які часто трапляються під час роботи на комп’ютері.
Наближені методи розв’язання СЛАР
Наближені методи називають ітераційними – це методи, які надають наближення до рішення із заданою точністю (зазвичай за допомогою ітерацій). Вони вважаються корисними при роботі з великими системами, особливо коли йдеться про тисячі та мільйони рівнянь.
До списку найпоширеніших наближених методів входять:
- Метод простої ітерації (Якобі) – відомий своєю простою реалізацією, але має повільну збіжність.
- Метод Зейделя (Gauss-Seidel) – трохи швидший, ніж метод Якобі. Такий метод використовує нові значення під час ітерацій.
- Метод релаксації (SOR) – це покращений варіант методу Зейделя, оскільки було додано «прискорення».
- Метод сполучених градієнтів – спочатку був розроблений для симетричних позитивно визначених матриць, що відрізняється високою швидкістю.
- Багатосіткові методи – вони особливо ефективні в обчислювальній фізиці, вважаються масштабованими.
Представлені методи гарантують наближене вирішення із заданою точністю, що активно застосовуються для дуже великих або розріджених СЛАР. Крім того, вони досить добре працюють з чисельними методами в науці, інженерії, але потребують умов збіжності.
